Conjuntos con una acción de una categoría

Abstract

In this work we introduce basic notions of the theory of biset functors defined on small categories. Classic theory of biset functors is defined on finite groups, and is in that context that they are strongly linked to Mackey functors. Classic examples on finite groups of these functors include Burnside ring and representation rings. This new approach allows these same examples but defined for arbitrary finite categories, and also allows to include other examples, among which are posets and free categories associated to quivers without oriented cycles. We give a definition of the Burnside ring of an arbitrary finite category, which plays a key role throughout the theory. Within the applications that are given of biset functors is the one that shows a connection between the correspondence functors of S. Bouc and J. Thévenaz and biset functors on categories.

En este trabajo se presentan las nociones básicas de la teoría de funtores de biconjuntos para categorías pequeñas. La teoría clásica de funtores de biconjuntos está dada para grupos finitos, y es en este contexto que está fuertemente vinculada con los funtores de Mackey. Los ejemplos clásicos de estos funtores en grupos finitos incluyen al anillo de Burnside y los anillos de representaciones. Esta nueva perspectiva tiene estos mismos ejemplos, pero definidos para categorías finitas arbitrarias y, además, permite dar algunos otros ejemplos, entre los que se encuentran los copos y las categorías libres asociadas a carcajes sin ciclos orientados. Damos una definición del anillo de Burnside de una categoría finita, el cual juega un papel clave en esta teoría. Dentro de las aplicaciones que se dan de los funtores de biconjuntos se encuentra aquella que muestra una conexión entre los funtores de correspondencias de S. Bouc y J. Thévenaz y los funtores de biconjuntos para categorías.