Teoremas de Murnaghan y Littlewood sobre productos de Kronecker de funciones simétricas

Abstract

The Kronecker product of two homogeneous symmetric functions f and g, both of degree n, is defined by f * g = ch(ϕ▪ψ), where ch is the characteristic map of Frobenius and ϕ,ψ are complex characters of the symmetric group Sn such that f = ch(ϕ) y g = ch(ψ). In general, calculating Kronecker products is not an easy task, although there are some results in this regard. Two of the most important results on this product were published by Murnaghan in 1956 and Littlewood in 1958 although Littlewood's proof is not easy to understand and Murnaghan never published his proof. In this work, using the language of symmetric functions, the two previously mentioned results are demonstrated; for this we are based on a result published in 1991 by J. Y. Thibon from which the results of Murnaghan and Littlewood are deduced as consequences of this result which is more general and which is also demonstrated in this work.

El producto de Kronecker de dos funciones simétricas homogéneas f y g, ambos de grado n, se define por f *g = ch(ϕ▪ψ), donde ch es la función característica de Frobenius y ϕ,ψ son caracteres complejos del grupo simétrico Sn tales que f = ch(ϕ) y g = ch(ψ). En general, calcular productos de Kronecker no es tarea fácil, aunque existen algunos resultados al respeto. Dos de los resultados más importantes sobre este producto fueron publicados por Murnaghan en 1956 y Littlewood en 1958 aunque la demostración de Littlewood no es fácil de entender y Murnaghan nunca publicó su demostración. En este trabajo, utilizando el lenguaje de funciones simétricas, se demuestran los dos resultados anteriormente mencionados; para ello nos basamos en un resultado publicado en 1991 por J. Y. Thibon a partir del cual, los resultados de Murnaghan y Littlewood, se deducen como consecuencias de este resultado que es más general y que también se demuestra en este trabajo.