Asintóticas para frecuencias altas de ondas atrapadas por cilindros sumergidos

Abstract

The question of the existence of modes trapped by submerged obstacles is of great interest. Consider the problem of trapped water waves for a submerged cylinder. From the mathematical point of view, it is about: Suppose that Γ C is the curve defined by {x = x (t), y = y (t), t ∈ [-π, π]} (T) and y (t), x 2 + y 2 = 0, and that m ax y (t) = y (0), y (0) <0, X (0)> 0. Γ F = {(x, 0): x ∈ R} is the free surface. Ω is the domain Outside the curve Γ C and less than Γ F; And we arrive at that for the function φ; (i.e. Ω 2 , G ∂φ ∂y = λφ, ∂φ ∂n = 0, In Γ F, In Γ C, is the frequency and number of waves In the direction of the cylinder. From now on we are going to assume that The units of this type belong to the Sobolev space H 1 (Ω) are called trapped waves And it exists only for certain values of λ (the eigenvalue) for fixed k. Problems related to this have been studied and discussed extensively In mathematical literature. For the case of the beach with constant slope Stokes in [4] demonstrated the existence of trapped modes, obtaining an analytical solution. For the case of the beach with constant slope Ursell In [6] he showed the existence of a finite number M (α) of the trapped modes for small values of angle α, where M (α) is the largest integer n For which (2n - 1) α ≤ π / 2.

La pregunta sobre la existencia de modos atrapados por obstáculos sumergidos, es de gran interés. Consideremos el problema de ondas de agua atrapadas por un cilindro sumergido. Desde el punto de vista matemático, se trata de: Supongamos que Γ C es la curva definida por {x = x(t), y = y(t), t ∈ [−π, π]} con x(t) y y(t) suaves, x 2 + y 2 = 0, y que m ́ax y(t) = y(0), y (0) < 0, x (0) > 0. Γ F = {(x, 0): x ∈ R} es la superficie libre. Ω es el dominio exterior a la curva Γ C e inferior a Γ F; y llegamos a que para la función φ; λ = ω 2, g ∂φ ∂y = λφ, ∂φ ∂n = 0, en Γ F, en Γ C, ω es la frecuencia y k es el número de ondas en la dirección del cilindro. De aquí en adelante vamos a suponer que las unidades están escogidas de tal manera que g = 1. Soluciones de este problema pertenecientes al espacio de Sobolev H 1 (Ω) son llamadas ondas atrapadas y existen sólo para ciertos valores de λ (el valor propio) para k fijo. Problemas relacionados a este han sido estudiados y discutidos ampliamente en la literatura matemática. Para el caso de la playa con pendiente constante Stokes en [4] demostró la existencia de modos atrapados, obteniendo una solución analítica. Para el caso de la playa con pendiente constante Ursell en [6] demostró la existencia de un número finito M (α) de modos atrapados para valores pequeños del ángulo α, donde M (α) es el entero más grande n para el cual (2n − 1)α ≤ π/2.