La distribución de factoriales módulo un número primo y puntos sobre curvas en pequeñas cajas

Abstract

In this thesis we deal with two themes: the distribution of the sequence of factorials modulo a prime number and the study of the number of solutions to the congruences y2 ≡ f (x) (mód p) and y ≡ f (x) (mód p) where (x; y) belongs to an arbitrary square of the plane, p is a prime number, and f (x) is a polynomial with integer coefficients whose degree is at least 3 and whose leading coefficient is not a multiple of p. We present our contributions to these two topics and we discuss how it is that our results advanced the state of the art in each case.Son dos los tópicos que se abordan en esta tesis: por un lado se encuentra el estudio de la distribución de los factoriales módulo un número primo y, por el otro, el estudio del número de soluciones (dentro de cuadrados del plano) de las congruencias y2 ≡ f (x) (mód p) y y ≡ f (x) (mód p) donde p es un número primo y f (x) es un polinomio de coeficientes enteros de grado mayor o igual que 3 y cuyo coeficiente principal no es múltiplo de p. En la tesis se expondrán nuestras contribuciones a estos dos temas y se discutirá como es que nuestros resultados permitieron avanzar el estado del arte en cada caso.