Pasos de montaña y la conjetura jacobiana

Abstract

The Jacobian conjecture states that any polynomial mapping in the Euclidean space of finite dimension such that its jacobian is constant, then it has a polynomial inverse. In order to establish a solution to this problem one strategy is to weaken the hypotheses to obtain the same result. That is the case in [1]. Where one has a C1 function, instead of a polynomial, and requires it to have the eigenvalues bounded from zero of the matrix obtained by the multiplication of its jacobian times its transpose. In this way they obtain inyectivity of the C1 function, which in the case of being a polynomial it is sufficient to conclude invertibility (at least in the complex domain). In this work we explore slightly generalizations of the result in [1]. Besides we give another proof of it based on Hadamard’s theorem.

La conjetura Jacobiana establece que mapeos polinomiales en el espacio Euclidiano de dimensión finita cuyo jacobiano es constante tienen inversa polinomial. Para tratar de resolver este problema se han propuesto varias estrategias. Una de ellas es debilitar las hipótesis y obtener la invertibilidad. Tal es el caso del trabajo en [1], donde se pide en vez de polinomios funciones C1 que cumplan que la matriz de la jacobiana multiplicada con su transpuesta tenga sus valores propios acotados lejos del cero. Con esto se puede establecer inyectividad de la función C1, que en el caso de ser un polinomio bastaría para obtener invertibilidad (al menos en el caso complejo). En este trabajo exploramos ligeras generalizaciones al resultado en [1]. Además, damos otra demostración del mismo usando el teorema de Hadamard.