Álgebras con potencial

Abstract

In this thesis the construction of the theory of quivers with potentials, given by Harm Derksen, Jerzy Weyman and Andrei Zelevinsky is extended to the level of semisimple basic finite dimensional algebras containing centrally a fixed field. In this context we define the notion of mutation of an algebra with potential and we introduce an ideal analog to the Jacobian ideal, which in general is contained properly in the Jacobian ideal. It is also shown that mutation is an involution on the set of all right-equivalence classes of reduced potentials. One of the most important results is that a certain subclass of skew-symmetrizable matrices with integer entries admits a realization through species. The notion of mutation of a decorated representation is also introduced; moreover, we prove its involutivity. Finally, it is shown that there exists a nearly Morita equivalence between the Jacobian algebras which are related via mutation.

En esta tesis se extiende la construcción de la teoría de carcajes con potencial dada por Harm Derksen, Jerzy Weyman y Andrei Zelevinsky, para álgebras semisimples básicas de dimensión finita que contienen centralmente a un campo base fijo. En este contexto se define la noción de mutación de un álgebra con potencial y se introduce un ideal bilateral que en general está contenido propiamente en el ideal Jacobiano. También se prueba que la mutación es una involución en el conjunto de clases de equivalencia-derecha de potenciales reducidos. Como resultado central de la tesis se prueba que cierta clase de matrices anti-simetrizables con entradas enteras admiten una realización por especies. También se introducen las representaciones decoradas y mutación de las mismas; además, se prueba que la mutación de una representación decorada también es involutiva. Finalmente se prueba que existe una casi-equivalencia de Morita entre las álgebras Jacobianas relacionadas mediante mutación.