Finiteness classes from partitions

Abstract

In this work, we study classes of sets with partitions without infinite partial choice functions, such that these partitions and their elements satisfies specific conditions. In particular, for every cardinal κ, we consider the class of sets with some partition of size κ consisting of finite sets, such that this partition does not have any infinite partial choice function. We study the relation between these classes with different instances of κ. We also prove that, for every set, it cannot have two partitions, consisting of finite sets, such that these partitions are well ordered and have different sizes. But we find that it is consistent that there exists this kind of partitions of different sizes, when these are not well ordered. We prove statements in ZF, and carry out consistency proofs using permutation models.

En este trabajo estudiamos clases de conjuntos con particiones sin funciones de elección parcial infinita, tal que estas particiones y sus elementos cumplan criterios específicos. En particular, para cada cardinal κ, consideramos la clase de aquellos conjuntos con una partición de tamaño κ en conjuntos finitos, sin funciones de elección parcial infinitas. Estudiamos las relaciones entre estas clases con diferentes valores de κ. También probamos que ningún conjunto puede tener dos particiones en conjuntos finitos, tal que dichas particiones sean bien ordenables y tengan tamaños distintos. Sin embargo, encontramos que es consistente que si haya este tipo de particiones con distintos tamaños cuando las particiones en cuestión no son bien ordenables. Probamos enunciados en ZF y hacemos pruebas de consistencia mediante el uso de modelos de permutaciones.