Finite dimensional infinite partitions

Abstract

Mad families of infinite subsets of ω and their lowest size, typically denoted a, are a widely studied field of research in Set Theory. Here, generalizations of these concepts in higher finite dimensions are studied. Some results on the cardinal invariant a(A ⊕ B), i.e. the lowest size of the infinite partitions of the free product of some given infinite Boolean algebras A and B, are presented. These results are applied to P (ω)/f in ⊕ P (ω)/f in, the Boolean algebra whose basic elements are rectangles of the form X × Y, for infinite X, Y ⊆ ω. An ideal on ω × ω is defined, denoted N C, such that these rectangles are dense in the quotient P (ω × ω)/N C. The combinatorial structure of N C and its quotient, as well as that of other higher-dimensional versions, with an emphasis on infinite partitions, is studied.Las familias mad (de maximal almost disjoint) de subconjun- tos infinitos de ω y su tamaño mínimo, típicamente denotado a, forman un área de investigación ampliamente estudiada dentro de la Teoría de Conjuntos. Aquí se estudian generalizaciones de estos conceptos a dimensiones finitas. Se presentan algunos resultados sobre el invariante cardinal a(A ⊕ B), es decir, el mínimo tamaño de las particiones infinitas del producto libre de las álgebras Booleanas infinitas A y B. Estos resultados se aplican a P (ω)/f in ⊕ P (ω)/f in, un álgebra Booleana cuyos elementos básicos son los rectángulos de la forma X × Y, para infinitos X, Y ⊆ ω. Se define un ideal sobre ω × ω, denotado N C, tal que dichos rectángulos son densos en el cociente P (ω × ω)/N C. Se estudia la estructura combinatoria de N C y de su cociente, así como la de otras versiones de mayor dimensión, con énfasis en sus particiones infinitas.