Sucesiones convergentes en grupos topológicos

Abstract

In this paper we study the following question: Given a sequence (an) n2N in a topological abelian group, is there any topology _ such that (an) n2N converges to the neutral element of (G; _)? For the group of integer numbers, this problem has been studied by D. Dikranjan in [1] and [2]. We also present the basic notions of topological groups, and theorems that we will need in this work such as parameterization theorem for topological groups given by G. Birkho_-S. kakutani and Duality Theorem given by L. Pontrjagin. Given a sequence (an) n2N _ Z, we characterize the finest topology for which (an) n2N converges to 0, by the behavior of the radios an+1=an. If (an+1=an) n2N is a bounded sequence, hence the finest topology for which (an) n2N converges to 0 must be metrizable. Secondly if (an+1=an) n2N! 1, hence the finest topology for which (an) n2N converges must have weight c. LikebZ = T, we will see that the finest topology for which a sequence converges will match whit the topology induced by some subgroup of the torus T.En este trabajo estudiaremos la siguiente pregunta: Dada una sucesión (an) n2N en un grupo abeliano, ¿existe alguna topología _ tal que (an) n2N converge al neutro de (G; _)? Para el grupo de los números enteros este problema se ha estudiado por D. Dikranjan en [1] y [2]. También presentamos las nociones básicas de grupos topológicos, así como los teoremas que vamos a necesitar dentro de este trabajo como son el Teorema de Metrización para grupos topológicos de G. Birkho_- S. Kakutani y el Teorema de Dualidad de L. Pontrjagin. Dada una sucesión (an) n2N _ Z, caracterizaremos la topología más fina para la cual (an) n2N converge a 0, mediante el comportamiento de las radios an+1=an. Si (an+1=an) n2N es una sucesión acotada, entonces la topología más fina para la cual (an) n2N converge a 0 debe ser metrizable. Por otro lado si (an+1=an) n2N! 1, entonces la topología más fina para la cual (an) n2N converge, tiene peso c. ComobZ = T, veremos que la topología más fina donde una sucesión converge, coincide con la topología inducida por algún subgrupo del toro T.