Maximalidad y linealidad en grupos topológicos

Abstract

A topological group G is called linear if it has a local basis for 1G made up of subgroups. A topological space (X, τ) is called maximal if τ has no isolated points and is maximal among topologies without isolated points. In [4] Protasov showed that the existence of a maximal topological group cannot be established on ZFC and in 1975 Malykhin [2], assuming Martin’s Axiom, constructed a linear maximal topological group. Until 2012, a question posed by Zelenyuk and Protasov remained open: Are all maximal topological groups also linear? The answer to this question is negative and, assuming p = c, Zelenyuk in [6] proposed the construction of a non-linear maximal topology on the boolean group Zω2 . The main objective of this work is to reproduce the techniques used by Zelenyuk when building a non-linear maximal group topology.

Un grupo topológico G es llamado lineal si tiene una base local para el 1G conformada por subgrupos. Un espacio topológico (X, τ) es llamado maximal si τ no tiene puntos aislados y es maximal entre las topologías sin puntos aislados. En [4] Protasov mostró que la existencia de un grupo topológico maximal no puede ser establecida en ZFC y en 1975 Malykhin [2], asumiendo Axioma de Martin, construyó un grupo topológico maximal lineal. Hasta 2012 se mantenía abierta una pregunta planteada por Zelenyuk y Protasov: ¿Son todos los grupos topológicos maximales también lineales? La respuesta a esta pregunta es negativa y, asumiendo p = c, Zelenyuk en [6] propuso la construcción de una topología maximal no lineal en el grupo booleano Zω2. Este trabajo tiene como objetivo principal reproducir las técnicas empleadas por Zelenyuk al construir una topología de grupo maximal no lineal.