Densidad de los ceros de la función Zeta de Riemann y el problema de la distribución de los números primos en pequeños intervalos - Corona Sánchez, Miguel (Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Universidad Nacional Autónoma de México, 2009)
The first scientific guidance on the study of whole numbers, perhaps the origin of the theory of numbers, is generally attributed to the Greeks. Approximately six centuries before our age Pythagoras and his disciples, among their various contributions, made a vast study of the integers. Euclid, in the third century BC. C. showed that there is an infinity of prime numbers. A prime number is defined as a larger integer that one who’s only divisors are the one and himself, ie 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. . . . Numbers that are not prime are called compounds, except number 1 which is neither cousin nor compound. The Fundamental Theorem of Arithmetic states that every integer n> 1 is written uniquely as a product of primes regardless of the order of factors. For this reason, the study of the properties of prime numbers has always been the object of intense study by mathematicians of all ages. The distribution of prime numbers is very irregular, it is known that we can find spaces as large as they want where there is no prime number; for example, the succession (N + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,. . . , (N + 1)! + (N + 1) consists of n consecutive compound integers. On the other hand, the conjecture of the cousins twins affirms the existence of an infinity of pairs of primes p, q whose difference is 2, that is P= q=2. However, in spite of such phenomena, the distribution of the prime numbers obeys to certain laws that we will study later.

La primera orientación científica sobre el estudio de los números enteros, acaso el origen de la teoría de los números, se atribuye generalmente a los griegos. Aproximadamente seis siglos antes de nuestra era Pitágoras y sus discípulos, entre sus diversas aportaciones, efectuaron un vasto estudio acerca de los enteros. Euclides, en el tercer siglo A. C. demostró que existe una infinidad de números primos. Un número primo se define como un entero mayor que uno cuyos únicos divisores son el uno y él mismo, es decir 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Los números que no son primos se llaman compuestos, excepto el número 1 que no es ni primo ni compuesto. El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo entero n > 1 se escribe de manera única como producto de primos sin importar el orden de los factores. Por esta razón, el estudio de las propiedades de los números primos siempre ha sido objeto de intenso estudio por matemáticos de todas las épocas. La distribución de los números primos es muy irregular, se sabe que podemos encontrar espacios tan grandes como se quieran donde no exista ningún número primo; por ejemplo, la sucesión (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,. . ., (n + 1)! + (n + 1) consiste de n enteros consecutivos compuestos. Por otro lado, la conjetura de los primos gemelos afirma la existencia de una infinidad de parejas de primos p, q cuya diferencia es 2, o sea P= q=2. Sin embargo, a pesar de tales fenómenos, la distribución de los números primos obedece a ciertas leyes que estudiaremos más adelante.
Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas
Keywords: info:eu-repo/classification/cti/1; IFM-M-2009-0001; Fórmulas; Sumación; Función zeta; http://bibliotecavirtual.dgb.umich.mx:8083/xmlui/handle/DGB_UMICH/1119